Le conoscenze matematiche di Escher erano principalmente visive ed intuitive. Le sue architetture e composizioni geometriche si caratterizzavano grazie a distorsioni prospettiche che, a prima vista si presentavano come perfettamente plausibili, ma che, dopo una più attenta ispezione, si rivelavano impossibili. Le stelle che sono sospese nello spazio nero di Escher sono forme geometriche dalla simmetria di gioielli sfaccettati.

Circondato da modelli geometrici nel suo studio, Escher prontamente ammise la sua ammirazione per queste forme e le incluse in molte delle sue stampe. Ammirati ed esaltati fin dal primo momento i solidi platonici sono i più perfettamente simmetrici di tutti i poliedri convessi. Ogni forma è composta da copie di un singolo poligono regolare – tutti i lati e tutti gli angoli di tutte le facce sono uguali.

In aggiunta, ogni angolo (vertice) del solido è lo stesso – lo stesso numero di facce si incontra lì e l’angolo a cui le facce adiacenti convergono tra loro è sempre lo stesso. I matematici chiamano questo poliedro regolare. In ciascuno di essi, ogni possibile requisito della forma è soddisfatto. Questi requisiti sono talmente stringenti che soltanto cinque forme possono soddisfarli pienamente.

I loro nomi derivano dal greco e ci dicono quante facce possiedono. Tre sono composti da triangoli equilateri: tetraedro, ottaedro, icosaedro. Il cubo composto da quadrati ad angoli retti è la forma più comune di tutte. Il suo nome deriva dal greco cubos che significa dadi. Il dodecaedro è composto da pentagoni; è probabilmente il più ammirato dal momento che è il meno ovvio da concepire tra i solidi.

Pare che Pitagora avesse già scoperto le proprietà delle ‘figure cosmiche‘, mentre Platone le ha associate agli elementi fondamentali. Nel “Timeo” (360 a.C.) collega il tetraedro al fuoco, il cubo alla terra, l’ottaedro all’aria e l’icosaedro all’acqua.

Il dodecaedro, invece, è simbolo dell’universo. Questa speciale attribuzione deriva dalla presenza del pentagono, figura che – contenendo in sé la sezione aurea – racchiudeva più di ogni altra l’idea di armonia e perfezione matematica. Il piccolo drago di Escher, all’apice del suo viaggio immaginativo, emette uno sbuffo di potere in cima al dodecaedro nella stampa Rettili.

Se soltanto uno dei requisiti per un solido regolare viene rimosso, una vasta selezione di altre forme altamente simmetriche può essere scoperta. I poliedri archimedei (o semi-regolari) permettono due o più tipi di poligoni regolari come facce, ma adempiono a tutti gli altri requisiti dei poliedri regolari. In questo modo tutti i lati di tutte le facce sono uguali; ogni angolo del solido è lo stesso (circondato allo stesso modo da facce che ivi si incontrano).

Esistono tredici solidi semi regolari; ne abbiamo incluso soltanto uno nella nostra collezione. ll cubottaedro (cubo + ottaedro) ha come facce sei quadrati e otto triangoli equilateri.

Ciascuno dei suoi dodici vertici (angoli) è circondato da due triangoli e due quadrati sistemati in modo che i due quadrati separino i due triangoli.

Il nome del solido suggerisce la sua derivazione – esso si può presentare come il solido che è l’intersezione di un ottaedro con un cubo come mostrato dalla stampa Cristallo di Escher.

Disegnare davvero è un inganno. Percepiamo il mondo come qualcosa di tridimensionale, ma il disegno ha solo due dimensioni. Escher considerava questa come una situazione di conflitto che, se portata alle sue estreme conseguenze, generava illusioni e situazioni paradossali.